Convergenza e divergenza delle serie infinite   ( Carlo  Elce )

 

La somma di una serie infinita a₁ + a₂ + a₃ + … talvolta può divergere, tendendo all'infinito positivo o negativo, o può oscillare senza stabilizzarsi. Se la successione delle somme parziali si avvicina sempre più al limite l, si dice che la serie converge a l.

Affinché una serie converga, deve verificarsi la seguente condizione:

I termini della successione devono tendere a 0.

Questa condizione è necessaria, ma  non  sufficiente affinché una serie converga.

Affinché una serie geometrica a₁ + a₁r + a₁r² + …   converga, deve verificarsi la seguente condizione:

 

 

Questa è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie geometrica.

Prendiamo in considerazione tre serie infinite. Rappresentiamo graficamente le prime 10 somme parziali di ciascuna e vediamo se le serie convergono o divergono.

 

Serie 1:

– 1 + 2 – 4 + 8 – 16 + …

Questa è una serie geometrica di ragione r = –2.

 

Primo termine:

 

Ragione:

 

Rappresentazione grafica delle prime 10 somme parziali:

_{Per vedere l'animazione clicca sul grafico seguente}

Poiché | r | > 1, la serie non converge. Al crescere di n, le somme parziali divergono in valore assoluto, alternando valori positivi e valori negativi.

 

Serie 2:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

Questa serie infinita è detta serie armonica.

 

Calcoliamo le prime 10 somme parziali.

_{Per vedere l'animazione clicca sul grafico seguente}

La serie converge? E' vero  che i termini successivi della successione tendono a 0:

La serie invece diverge:

Serie 3:

1/2 + 1/6 + 1/18 + …

Questa è una serie geometrica di ragione r = 1/3.

Primo termine:

Ragione:

 

Rappresentazione delle prime 10 somme parziali:

_{Per vedere l'animazione clicca sul grafico seguente}

Esiste una formula per il calcolo del limite per di una serie geometrica convergente. Ricorda  che la somma parziale n-esima di una serie geometrica è data da:

dove a è il primo termine della serie.

Al crescere di n, rⁿ decresce (ricorda che | r | < 1) e S_n tende a:

Questa è la formula per la somma di una serie geometrica convergente.

Per la Serie 3 vista sopra, si ha